Question

3．已知直線y=kx+b（k≠0）過點（1，2）
（1）填空：b=2-k（用含k代數(shù)式表示）；
（2）將此直線向下平移2個單位，設平移后的直線交x于點A，交y于點B，x軸上另有點C（1+k，0），使得△ABC的面積為2，求k值；
（3）當1≤x≤3，函數(shù)值y總大于零，求k取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點（1，2）代入y=kx+b（k≠0），得出k+b=2，即b=2-k；
（2）把b=2-k代入y=kx+b，得y=kx+2-k，根據(jù)上加下減的平移規(guī)律得出向下平移2個單位所得直線的解析式為y=kx-k，求出A（1，0），B（0，-k），根據(jù)△ABC的面積為2列出方程$\frac{1}{2}$k²=2，解方程即可；
（3）依題意，分兩種情況討論：�。┊攌＞0時，y隨x增大而增大，得出k+2-k=2＞0；ⅱ）當k＜0時，y隨x增大而減小，得出3k+2-k=2k+2＞0；分別解不等式即可．

解答 解：（1）∵直線y=kx+b（k≠0）過點（1，2），
∴k+b=2，
∴b=2-k．
故答案為2-k；

（2）由（1）可得y=kx+2-k，
向下平移2個單位所得直線的解析式為y=kx-k，
令x=0，得y=-k，令y=0，得x=1，
∴A（1，0），B（0，-k），
∵C（1+k，0），
∴AC=|1+k-1|=|k|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•|y_B|=$\frac{1}{2}$|k|•|-k|=$\frac{1}{2}$k²，
∴$\frac{1}{2}$k²=2，解得k=±2；

（3）依題意，當自變量x在1≤x≤3變化時，函數(shù)值y的最小值大于0．
分兩種情況：
�。┊攌＞0時，y隨x增大而增大，
∴當x=1時，y有最小值，最小值為k+2-k=2＞0，
∴當 k＞0時，函數(shù)值總大于0；
ⅱ）當k＜0時，y隨x增大而減小，
∴當x=3時，y有最小值，最小值為3k+2-k=2k+2，
由2k+2＞0得k＞-1，
∴-1＜k＜0．
綜上，當k＞0或-1＜k＜0時，函數(shù)值y總大于0．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)．難度適中．