Question

14．如圖，正方形ABCD中，AB=4，點H在CD邊上，且CH=1，點E繞點B旋轉(zhuǎn)，同時，以CE為邊在BC上方作正方形CEFG，在點E運動過程中，當(dāng)線段FH取得最小值時，∠CBE的正切為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{7}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 先根據(jù)△ACF∽△BCE，確定點F的運動路徑為以A為圓心，以$\sqrt{2}$BE長為半徑的圓，再連接AF，F(xiàn)H，AH，根據(jù)AH≤AF+FH，而AH和AF的長度不變，可得當(dāng)點F在線段AH上時，F(xiàn)H=AH-AF（最短），過H作HQ⊥AC于Q，求得HQ和AQ的長，即可得到tan∠CBE=tan∠QAH=$\frac{HQ}{AQ}$=$\frac{1}{7}$，進(jìn)而得出∠CBE的正切值．

解答 解：如圖所示，點E繞點B旋轉(zhuǎn)時，其路徑為以B為圓心，BE長為半徑的圓，
連接AC，AF，F(xiàn)C，則∠ACB=∠FCE=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵AC=$\sqrt{2}$BC，F(xiàn)C=$\sqrt{2}$CE，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{FC}{EC}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，
即AF=$\sqrt{2}$BE，
∴點E繞點B旋轉(zhuǎn)時，點F的運動路徑為以A為圓心，以$\sqrt{2}$BE長為半徑的圓，
連接AF，F(xiàn)H，AH，
∵AH≤AF+FH，而AH和AF的長度不變，
∴當(dāng)點F在線段AH上時，F(xiàn)H=AH-AF（最短），
此時，由相似三角形的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAH，
過H作HQ⊥AC于Q，則△CHQ是等腰直角三角形，
∵CH=1，
∴HQ=CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵等腰Rt△ABC中，AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴AQ=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，
∴tan∠CBE=tan∠QAH=$\frac{HQ}{AQ}$=$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{7}{2}\sqrt{2}}$=$\frac{1}{7}$，即∠CBE的正切值為$\frac{1}{7}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到點F的運動軌跡．解題時注意：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．