Question

15．如圖，在矩形ABCD中，BD為對角線，點E，F(xiàn)是線段BD上的點，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）若AB=4，當(dāng)AD的長為何值時，?AECF為菱形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于點O，由矩形的性質(zhì)得出AO=CO，BO=DO，證出EO=FO即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得AD．．

解答 （1）證明：連接AC，交BD于點O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO．
又∵BE=DF，
∴EO=FO．
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）解：∵?AECF為菱形，
∴AC⊥EF，
∵AO=BO，AB=4，
∴BO=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
∴AD=4．

點評 本題考查了平行四邊形的判定方法、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法、菱形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．