Question

3．數(shù)學(xué)實驗室：
點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a-b|．
利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：
①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是3；
②數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為|x+2|；
③若x表示一個有理數(shù)，且-3＜x＜1，則$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$=4；
④若x表示一個有理數(shù)，且$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$＞4，則有理數(shù)x的取值范圍是x＜-3或x＞1．

Answer 1

分析 ①②在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a-b|，依此即可求解；
③根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號，然后計算即可得解；
④將x的位置分三種情況討論，可得出x的取值范圍．

解答 解：①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是|5-2|=3；
②根據(jù)絕對值的定義有：數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為|x-（-2）|=|x+2|或|-2-x|=|x+2|；
③∵-3＜x＜-1
∴x+（-1）=x-1＜0，x-（-3）=x+3＞0
∴$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$=1-x+x+3=4；
④∵當(dāng)x＜-3時，|x-1|+|x+3|=1-x-x-3=-2x-2，
當(dāng)-3≤x≤1時，|x-1|+|x+3|=1-x+x+3=4，
當(dāng)x＞1時，|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=2x+2
∴$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$＞4，則有理數(shù)x的取值范圍是：x＜-3或x＞1．
故答案為：①3；②|x+2|；③4；④x＜-3或x＞1．

點評 本題考查了數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵，數(shù)軸上兩點間的距離等于兩數(shù)差的絕對值．注意分類思想的運(yùn)用．