Question

17．如圖菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分別為線段AB，BC上兩點，且BM=CN，且AN，CM所在直線相交于E．
（1）證明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM=60°；
（3）求證DE平分∠AEC；
（4）試猜想AE，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC．由題意△ABC，△ADC都是等邊三角形，根據(jù)SAS即可證明△BCM≌△CAN．
（2）由△BCM≌△CAN，推出∠BCM=∠CAN，推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
（3）如圖2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延長線于H．由△DGA≌△DHC，推出DG=DH，由DG⊥AN，DH⊥MC，推出∠DEG=∠DEH．即DE平分∠AEC．
（4）結(jié)論：EA+EC=ED．由（3）可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，由∠EDG=30°，推出DE=2EG，易證△DEG≌△DEH，推出EG=EH，推出EA+EC=EG+AG+EH-CH，由△DGA≌△DHC，推出GA=CH，推出EA+EC=2EG=DE，

解答 解：（1）如圖1中，連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠B=∠ACN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAN．

（2）如圖1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案為60．

（3）如圖2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延長線于H．

∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGA=∠H=90°}\\{∠ADG=∠CDH}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．

（4）結(jié)論：EA+EC=ED．理由如下：
如圖2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)．菱形性質(zhì)．等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定定理．直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會證明角平分線的添加輔助線的方法，屬于中考壓軸題．