Question

14．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為斜邊向右側(cè)作等腰三角形ADE，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)D是BC邊中點(diǎn)時(shí)，$\frac{CE}{AD}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）如圖2，當(dāng)CD=CA時(shí)，判斷CE與AD的數(shù)量關(guān)系并證明．
（3）當(dāng)D是BC邊任意一點(diǎn)時(shí)，（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ADE等腰直角三角形得出AD=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$CE，故$\frac{CE}{AD}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明△AEC≌△DEC，求出∠ACE=22.5°，∠EAC=22.5°，得到AE=CE，在等腰直角三角形△ADE中，AD=$\sqrt{2}$AE，則AD=$\sqrt{2}$CE；
（3）成立，作AF⊥BC，連接EF，易知A、E、D、F四點(diǎn)共圓，則∠EDC=∠EAF，證明△AEF≌△CEF，得出ED=EC，則AD=$\sqrt{2}$CE；

解答 解：（1）∵△ADE等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊中點(diǎn)，
∴AE=CE，
∴AD=$\sqrt{2}$CE，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）AD=$\sqrt{2}$CE；
在△AEC和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{AE=DE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEC，
∴∠ACE=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD=22.5°，
∵CA=CD，∠ACD=45°，
∴∠CAD=67.5°，
∵∠EAD=45°，
∴∠EAC=22.5°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∵△ADE等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AE，
∴AD=$\sqrt{2}$CE；
（3）成立；
作AF⊥BC，連接EF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AF=CF，
∵∠AFC=∠AED=90°，
∴A、E、D、F四點(diǎn)共圓，
∴∠EDC=∠EAF，
∵AE=DE，
∴∠AFE=∠EFD
在△AFE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠AFE=∠EFD}\\{FE=FE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△CFE，
∴∠FAE=∠FCE，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=ED，
∵AD=$\sqrt{2}$DE，
∴AD=$\sqrt{2}$CE．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法以及等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．