Question

5．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-2，-1），B（0，7）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式及對稱軸；
（2）在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在對稱軸的左側(cè)），過點(diǎn)C，D作x軸的垂線，垂足分別為F，E．當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的前提下，能否在y軸上找一點(diǎn)P，使|PC-PE|最小？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再用配方法或公式法求出對稱軸即可；
（2）利用正方形的性質(zhì)得出橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出答案；
（3）設(shè)P（0，y），再由PC=PE時(shí)最小求出y的值即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-2，-1），B（0，7）兩點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}-1=-4-2b+c\\ c=7\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=7\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+7，
=-（x²-2x）+7，
=-[（x²-2x+1）-1]+7，
=-（x-1）²+8，
∴對稱軸為直線x=1；

（2）∵當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，假設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²+2x+7），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-x²+2x+7+x，-x²+2x+7），即（-x²+3x+7，-x²+2x+7），
∵對稱軸為：直線x=1，D到對稱軸距離等于C到對稱軸距離相等，
∴-x²+3x+7-1=-x+1，
解得：x₁=-1，x₂=5（不合題意舍去），
x=-1時(shí)，-x²+2x+7=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，4）．

（3）能．
理由：∵C（-1，4），
∴E（3，0）．
設(shè)P（0，y），
∵PC=PE時(shí)最小，
∴1²+（y-4）²=3²+y²，解得y=1，
∴P（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用圖象觀察函數(shù)值和正方形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．