Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AC=3，cosB=$\frac{4}{5}$
（1）先作∠ABC的平分線交AC邊于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）請你判斷（1）中AB與⊙O的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論，并求出OC的長．

Answer 1

分析 （1）首先利用角平分線的作法得出BO，進(jìn)而以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O即可；
（2）利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可．

解答 解：（1）如圖所示：
；

（2）相切；過O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，
∵BO平分∠ABC，
∴OC=OD，即d=r，
∴⊙O與直線AB相切，
∵∠ACB=90°，AC=3，$cosB=\frac{4}{5}$，
∴BC=4，AB=5．
∵∠A=∠A，∠ADC=∠C，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{r}{4}=\frac{3-r}{5}$，$r=\frac{4}{3}$，即OC=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了復(fù)雜作圖以及角平分線的性質(zhì)與作法和直線與圓的位置關(guān)系，正確利用角平分線的性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．