Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G．
（1）求證：點(diǎn)E是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若AD=12，⊙O的半徑為10，求弦DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠A，∠2=∠ODA，加上∠A=∠ODA，所以∠1=∠2，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系可判斷點(diǎn)E是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)；
（2）先證明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；
（3）連接BD，先根據(jù)垂徑定理得到DG=FG，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出BD，然后利用面積法計(jì)算出DG，從而得到DF的長．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$，即點(diǎn)E是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)；
（2）證明：在△OCD和△OCB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠1=∠2}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（3）解：連接BD，
∵DF⊥AB，
∴DG=FG，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{{2}^{\;}}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∵$\frac{1}{2}$•DG•AB=$\frac{1}{2}$•AD•BD，
∴DG=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$，
∴DF=2DG=$\frac{96}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了圓周角定理和垂徑定理．