Question

18．如圖所示，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）求證：AO=CO．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等式的性質(zhì)得出BE=DF，再根據(jù)HL證明△ABE與△CDF全等即可；
（2）根據(jù)△ABE與△CDF全等得出AE=CF，再利用AAS證明△AEO與△CFO全等，即可得出AO=CO．

解答 證明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在RT△ABE與RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△CDF（HL）；
（2）∵RT△ABE≌RT△CDF，
∴AE=CF，
在△AEO與△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AO=CO．

點(diǎn)評 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出BE=DF．