Question

17．直線y=x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=x-2分別交x軸、y 軸于C、D兩點(diǎn)，在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△PAD=S_△PCD？若存在請(qǐng)求P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 分兩種情況分別討論：①當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，設(shè)P（a，a+3），根據(jù)S_△PAD=S_梯形ODPE-S_△PAE-S_△AOD=S_△PCD=S_梯形ODPE+S_△ODC-S_△PCE，列出關(guān)于a的方程，解方程即可；②當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，設(shè)P（a，a+3），根據(jù)S_△PAD=S_△PED+S_△ABD-S_△PEB=S_△PCD=S_梯形OCPE+S_△ODC-S_△PDE列出關(guān)于a的方程，解方程即可．

解答 解：∵直線y=x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=x-2分別交x軸、y 軸于C、D兩點(diǎn)，
∴A（-3，0），B（0，3），C（2，0），D（0，-2），
∴OA=OB=3，OC=OD=2，
①當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，如圖1，設(shè)P（a，a+3），作PE⊥x軸于E，
∵S_△PAD=S_梯形ODPE-S_△PAE-S_△AOD=$\frac{1}{2}$（OD+PE）•OE-$\frac{1}{2}$AE•PE-$\frac{1}{2}$OA•OD=$\frac{1}{2}$（2-a-3）•（-a）-$\frac{1}{2}$（-a-3）•（-a-3）-$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{1}{2}$（-5a-9）-3，
S_△PCD=S_梯形ODPE+S_△ODC-S_△PCE=$\frac{1}{2}$（OD+PE）•OE+$\frac{1}{2}$OD•OC-$\frac{1}{2}$CE•PE=$\frac{1}{2}$（2-a-3）•（-a）+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$（2-a）（-a-3）=5，
∴$\frac{1}{2}$（-5a-9）-3=5，解得a=-5，
∴P（-5，-2）；
②當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，如圖2，設(shè)P（a，a+3），作PE⊥y軸于E，
∵S_△PAD=S_△PED+S_△ABD-S_△PEB=$\frac{1}{2}$PE•DE+$\frac{1}{2}$BD•OA-$\frac{1}{2}$BE•PE=$\frac{1}{2}$（a+3+2）•a+$\frac{1}{2}$（2+3）×3-$\frac{1}{2}$（a+3-3）=$\frac{1}{2}$（5a+15），
S_△PCD=S_梯形OCPE+S_△ODC-S_△PDE=$\frac{1}{2}$（OC+PE）•OE+$\frac{1}{2}$OD•OC-$\frac{1}{2}$DE•PE=$\frac{1}{2}$（a+2）•（a+3）+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$a（a+3+2）=5，
∴$\frac{1}{2}$（5a+15）=5，解得a=-1，
∴P（-1，2）．
綜上，在直線AB上存在一點(diǎn)P，使得S_△PAD=S_△PCD，此時(shí)P的坐標(biāo)為（-5，-2）或（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，作出輔助線構(gòu)建梯形是解題的關(guān)鍵．