Question

13．如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∠ABC=75°，∠DBC=30°，BC=2，則BD的長(zhǎng)度為1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△CBF，得出DE=BF，求出BE、DE即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
則∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，
∴∠AED=∠CFB=90°．
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFC}\\{∠ADE=∠CBF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴DE=BF．
∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，
∴∠ABE=75°-30°=45°．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=75°-30°=45°
∵AD=BC=2，∠ADE=∠CBF=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=1，
DE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$．
在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°
故AE=BE=1．
∴BD=BE+DE=1+$\sqrt{3}$．
故答案為1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，得出△ADE≌△CBF是解題關(guān)鍵．