Question

15．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D．P為AB延長線上一點(diǎn)，∠PCD=2∠BAC．
（1）求證：CP為⊙O的切線；
（2）BP=1，CP=$\sqrt{5}$．
①求⊙O的半徑；
②若M為AC上一動點(diǎn)，則OM+DM的最小值為$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)已知證得∠POC=∠PCD，由∠POC+∠OCD=90°．證得∠PCD+∠OCD=90°，即∠OCP=90°，即可證得CP為⊙O的切線；
（2）①設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△OCP中，利用勾股定理即可求得；
②先證得△COP∽△DOC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求得CD的長，作點(diǎn)O點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接ED，交AC于M，此時(shí)OM+DM=ED的最小，連接AE，EC，證得四邊形AOCE是菱形，進(jìn)而證得EC=2，∠ECD=90°，然后根據(jù)勾股定理即可求得ED，即OM+DM的最小值．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1，
∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，
∴∠POC=∠PCD，
∵CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠ODC=90°．
∴∠POC+∠OCD=90°．
∴∠PCD+∠OCD=90°．
∴∠OCP=90°．
∴半徑OC⊥CP．
∴CP為⊙O的切線．
（2）解：①設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△OCP中，OC²+CP²=OP²，
∵BP=1，CP=$\sqrt{5}$．
∴r²+（$\sqrt{5}$）²=（r+1）²，
解得r=2．
∴⊙O的半徑為2．   
②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，
∴△COP∽△DOC，
∴$\frac{CP}{OP}$=$\frac{CD}{OC}$，即$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{CD}{2}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
如圖2，作點(diǎn)O點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接AE，EC，此時(shí)OM+DM=ED，
∵AC垂直平分OE，
∴AE=AO，
∴∠OAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∵OA=AE=OC=2，
∴四邊形AOCE是菱形，
∴EC=2，∠ECD=90°，
在RT△ECD中，EC=2，CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴ED=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．
∵OM+DM的最小值為$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．
故答案為$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理，軸對稱的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．