Question

19．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)），且∠ACB=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$．
①求拋物線的解析式；
②若拋物線頂點(diǎn)為P，求四邊形APCB的面積．

Answer 1

分析 ①由y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，可設(shè)A（-2c，0），B（$\frac{1}{2}$c，0），把A（-2c，0），B（$\frac{1}{2}$c，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c求得b，c，即可求得求拋物線的解析式；
②解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=0可求得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，由于四邊形APCB的面積=S_△AOP+S_△POC+S_△COB，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論．

解答 解：①令x=0則y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c，
∴C（0，c），
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2c，0），
∠ACB=90°，
∴∠BCO=∠BAC，
∴OB=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$c，
∴B（$\frac{1}{2}$c，0），
把A（-2c，0），B（$\frac{1}{2}$c，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=c得，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}（-2c）^{2}+b（-2c）+c=0}\\{-\frac{1}{2}（\frac{1}{2}c）^{2}+b•\frac{1}{2}c+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{10}}\\{c=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
求拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$；

②y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x+$\frac{3}{10}$）²+$\frac{49}{100}$，
∴P（-$\frac{3}{10}$，$\frac{49}{100}$），
令-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{10}$x+$\frac{1}{5}$=0，解得：x₁=-1，x₂=$\frac{2}{5}$，
∴A（-1，0），B（$\frac{2}{5}$，0）
連接AP，PC，CB，PO，則四邊形APCB的面積=S_△AOP+S_△POC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{49}{100}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{9}{100}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，三角函數(shù)的定義，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，割補(bǔ)法求四邊形的面積，能夠把四邊形APCB分割成三個(gè)三角形△AOP．△POC，△COB是解題的關(guān)鍵．