Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，半徑0D⊥AC于G．弦DE⊥AB于K，交AC于H．
（1）求證：AC=DE；
（2）求證：DH=AH；
（3）若DH=5，HE=11，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，于是得到$\widehat{DE}=\widehat{AC}$，即可得到結論；
（2）由$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，等量代換得到$\widehat{CD}=\widehat{AE}$，根據(jù)圓周角定理得到∠DAH=∠ADH，于是得到結論；
（3）連接AE，根據(jù)垂徑定理得到DK=8，通過△ADE∽△ADH，得到$\frac{AD}{DE}=\frac{DH}{AD}$，求出AD=$\sqrt{DE•DH}$=4$\sqrt{5}$，由勾股定理得到AK=$\sqrt{A{D}^{2}-D{K}^{2}}$=4，于是得到結論．

解答 （1）證明：∵半徑0D⊥AC于G，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∵DE⊥AB于K，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，
∴$\widehat{DE}=\widehat{AC}$，
∴AC=DE；

（2）證明：∵$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，
∴$\widehat{CD}=\widehat{AE}$，
∴∠DAH=∠ADH，
∴DH=AH；

（3）解：連接AE，
∵DH=5，HE=11，
∴DE=16，
∴DK=8，
∵∠AED=∠DAC，∠ADH=∠ADE，
∴△ADE∽△ADH，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DH}{AD}$，
∴AD=$\sqrt{DE•DH}$=4$\sqrt{5}$，
∴AK=$\sqrt{A{D}^{2}-D{K}^{2}}$=4，
∵OD²=OK²+DK²，
即OD²=（OD-4）²+8²，
解得：OD=10，
∴⊙O的半徑=10．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．