Question

20．如圖．點(diǎn)A、B、C、D是平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)．連接AB、AC、BD、CD．
（1）求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）如果點(diǎn)D與點(diǎn)A分別在線段BC的兩側(cè)．先畫出圖形．再猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD這4個(gè)角之間有怎樣的關(guān)系．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD并延長(zhǎng)，如圖1，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，然后把兩式相加即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連結(jié)BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2+∠A=180°，∠3+∠4+∠D=180°，然后把兩式相加即可得∠BDC+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．

解答 （1）證明：連結(jié)AD并延長(zhǎng)，如圖1，

∵∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）解：∠BDC+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．理由如下：
如圖2，連結(jié)BC，

∵∠1+∠2+∠A=180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠1+∠2+∠A+∠3+∠4+∠D=360°，
∴∠BDC+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．利用三角形內(nèi)角和可直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角或依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角，也可在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．也考查了三角形外角性質(zhì)．