Question

10．如圖1，△ABD，△BCE都是等邊三角形（提示：等邊三角形三邊相等，三個(gè)角都是60°），點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AE和CD交于點(diǎn)P．
（1）求證：AE=CD；
（2）求∠APD的度數(shù)；
（3）如圖2，M，N分別是AE，CD的中點(diǎn)，試判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論．
（友情提醒：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；②有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形）

Answer 1

分析 （1）要求AE=CD，可把兩條線段放在△ABE，△DBC中，利用SAS證明兩個(gè)三角形全等即可；
（2）由△ABE≌△DBC，所以得到∠BAE=∠BDC，求得∠BDC+∠BCD=180°-∠DBC=180°-120°=60°，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠APD=∠PAC+∠PCA，所以∠APD=∠BDC+∠PCA=60°．
（3）△BMN的形狀為等邊三角形，理由為：在（1）的基礎(chǔ)上，通過三角形的全等，得到一對(duì)角相等，再由M與N分別AE、CD的中點(diǎn)，得到AM=DN，以及AB=BD，利用SAS可證明三角形ABE與三角形DBN全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，利用有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形，可得出△BMN為等邊三角形

解答 解：（1）∵△ABD、△BCE都是等邊三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠ABD=60°，
∴∠DBC=120°，
∴∠BDC+∠BCD=180°-∠DBC=180°-120°=60°，
∵∠APD=∠PAC+∠PCA，
∴∠APD=∠BDC+∠PCA=60°．
（3）△MBN是等邊三角形，理由為：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分別是AE、CD的中點(diǎn)，
∴AM=DN，
在△ABM和△DBN中
 $\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{∠BAE=∠BDC}\\{AB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN，
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．