Question

7．如圖，AB=AC=8，∠BAC=90°，直線l與以AB為直徑的⊙O相切于點(diǎn)B，點(diǎn)D是直線l上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接DA交⊙O于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在AB上方且BD=6時(shí)，求AE的長．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在什么位置時(shí)，CE恰好與⊙O相切？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由BD與⊙O相切，AB為⊙O的直徑，得到∠ABF=∠AEB=90°根據(jù)勾股定理得到AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，由射影定理得到AB²=AE•AD，求出AE=$\frac{8×8}{10}=\frac{32}{5}$；
（2）連接OC，根據(jù)切線的判定和性質(zhì)得到OC垂直平分AE．由線段的垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OE，∠EOC=$\frac{1}{2}∠AOE$，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE，通過三角形全等求出BD=OE，所以BD=$\frac{1}{2}$AB=4．

解答 解：（1）∵BD與⊙O相切，AB為⊙O的直徑，
∴∠ABF=∠AEB=90°
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
∴AB²=AE•AD，
∴AE=$\frac{8×8}{10}=\frac{32}{5}$；

（2）當(dāng)BD=4時(shí)，CE恰好與⊙O相切，理由如下：
連接OC，
∵⊙O與CE相切，
∴∠OEC=90°，
∵BAC=90°，
∴AC與⊙O相切，
∴AC=CE，∠ACO=∠ECO，
∴OC垂直平分AE．
∵OA=OE，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}∠AOE$，
∵∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠EOC=∠ABE，
∵∠EDB=∠ABE，
∴∠COE=∠BDE，
在△OCE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠BDE}\\{∠CEO=∠ABD=90°}\\{CE=AB}\end{array}\right.$
∴△OCE≌△ABD，
∴BD=OE，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的畫出輔助線是做題的關(guān)鍵．