Question

16．在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，ED平分∠BEF，連接DF．
（1）如圖1，求證：∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°；
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，點(diǎn)P在DE上，連接AP、CP交DF于點(diǎn)Q且滿足∠APC=90°，若AE：BE=1：3，請(qǐng)你探究線段FQ與FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DK⊥AC于K，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)得到DM=DK，DM=DN，等量代換得到DM=DN=DK，于是得到DF平分∠EFC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，過E作EK⊥AD于K，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，求得DM=DN，證得四邊形AMDN是正方形，于是得到AM=$\frac{1}{2}$AB，求出AE=$\frac{1}{4}$AB，得到AE=EM，由（1）證得∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°，求出∠3=∠2，由∠APC=∠ADC=90°，得到A，P，D，C四點(diǎn)共圓，由要抓緊定理得到∠1=∠3，∠DPC=∠DAC=45°根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sin∠1=sin∠3，即$\frac{QF}{CF}$=$\frac{EK}{KD}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DK⊥AC于K，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DK，
∵ED平分∠BEF，
∴DM=DN，
∴DM=DN=DK，
∴DF平分∠EFC，
∵∠AEF+∠AFE=180°-∠A，
∴∠DEF+∠DFE=$\frac{1}{2}$[360°-（∠AEF+∠AFE）]=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠EDF=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°；

（2）連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，過E作EK⊥AD于K，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴DM=DN，
∴四邊形AMDN是正方形，AM=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE：BE=1：3，
∴AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴AE=EM，由（1）證得∠EDF+$\frac{1}{2}$∠A=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EDF=45°，
∵∠ADN=45°，
∴∠3=∠2，
∵∠APC=∠ADC=90°，
∴A，P，D，C四點(diǎn)共圓，
∴∠1=∠3，∠DPC=∠DAC=45°，
∴DF⊥PC，∴∠1=∠2=∠3，
∴sin∠1=sin∠3，
即$\frac{QF}{CF}$=$\frac{EK}{KD}$，
設(shè)EK=AK=a，則AE=$\sqrt{2}$a，AM=2$\sqrt{2}$a，AD=4a，
∴KD=3a，ED=$\sqrt{10}$a，
∴$\frac{QF}{CF}$=$\frac{EK}{KD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．