Question

6．如圖，拋物線C₁：y=-（x+m）²+m²（m＞0）的頂點(diǎn)為A，拋物線C₂：y=-（x-n）²+n²（n＞m）的頂點(diǎn)為B，拋物線C₂的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線C₁相交于點(diǎn)C，拋物線C₁的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線C₂相交于點(diǎn)D．
（1）請(qǐng)你用含有m、n的代數(shù)式表示線段AD、BC的長(zhǎng)度；
（2）若拋物線C₁是y=-（x+1）²+1，OM=3，求拋物線C₂的解析式和$\frac{AM}{BM}$的值；
（3）若在拋物線C₁上存在點(diǎn)N，使得△AND∽△BMC，求m、n所滿(mǎn)足的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）AD用A與D的縱坐標(biāo)之差表示，BC用B與C的縱坐標(biāo)之差表示；
（2）先求AB的解析式，再確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出AM與BM；
（3）如果△AND∽△BMC，那么必有∠NAD=∠MBC，由于AD∥BC，故延長(zhǎng)BA與拋物線的交點(diǎn)就是N，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例列出線段等式，然后對(duì)等式進(jìn)行恒等變形即可得出結(jié)論．當(dāng)然，各線段要用m與n表示．

解答 解：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)，得
A（-m，m²）；B（n，n²）．
直線AD：x=-m，直線BC：x=n．
把x=-m代入C₂：y=-（x-n）²+n²，y=-m²-2mn，即D（-m，-m²-2mn）；
把x=n代入C₁：Y=-（x+m）²+m²，解得y=-n²-2mn，即C（n，-n²-2mn）．
AD=m²-（-m²-2mn）=2m²+2mn，
BC=n²-（-n²-2mn）=2n²+2mn；
（2）由C₁是y=-（x+1）²+1，OM=3，得A（-1，1），M（0，3）．
設(shè)AM的解析式為y=kx+b，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=2x+3，
把B（n，n²）代入y=2x+3得
n=-1（舍），n=3，
n²=9，B（3，9）
C₂：y=-（x-3）²+9；
$\frac{AM}{BM}$=$\frac{\sqrt{1+（3-1）^{2}}}{\sqrt{{3}^{2}+（9-3）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}$=$\frac{1}{3}$；
（3）∵△AND∽△BMC，∴∠NAD=∠MBC，
∵AD∥BC，
故延長(zhǎng)BA與拋物線的交點(diǎn)就是N，如圖，

由A（-m，m²）、B（n，n²）求得直線AB的解析式為：y=（n-m）x+mn，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=（n-m）x+mn}\\{y=-（x+m）^{2}+{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-n}\\{y=-{n}^{2}+2mn}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-m}\\{y={m}^{2}}\end{array}\right.$（舍去），
∴N（-n，-n²+2mn），
∴AN²=（-n+m）²+（-n²+2mn-m²）²=（n-m）²[1+（n-m）²]，
BM²=n²+（n²-mn）²=n²[1+（n-m）²]，
AD²=（2m²+2mn）²=4m²（m+n）²，
BC²=（2n²+2mn）²=4n²（m+n）²，
∵$\frac{A{N}^{2}}{B{M}^{2}}=\frac{A{D}^{2}}{B{C}^{2}}$，
∴$\frac{{（n-m）}^{2}[1+{（n-m）}^{2}]}{{n}^{2}[1+{（n-m）}^{2}]}$=$\frac{4{m}^{2}{（m+n）}^{2}}{4{n}^{2}{（m+n）}^{2}}$，
∴$\frac{n-m}{n}=\frac{m}{n}$，
∴n=2m．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，N（-n，-n²+2mn）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N'（-2m+n，-n²+2mn）也是符合要求的點(diǎn)，由于AN²=（-n+m）²+（-n²+2mn-m²）²=（n-m）²[1+（n-m）²]=AN'²=（-n+m）²+（-n²+2mn-m²）²=（n-m）²[1+（n-m）²]，所以結(jié)果同上，不受影響．
綜上所述，n=2m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、解二元二次方程組等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．本題多次用到兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握公式是關(guān)鍵．