Question

8．如圖，平面直角坐標系中，AB⊥AC，
（1）求點C的坐標；
（2）求Rt△BAC的周長．

Answer 1

分析 （1）證明Rt△ABO∽Rt△CAO，利用相似比計算出OC=4，于是可得到點C的坐標為（4，0）；
（2）先利用勾股定理計算出AB和AC，而BC=5，然后根據(jù)三角形周長的定義求解．

解答 解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAO=∠ABO，
∴Rt△ABO∽Rt△CAO，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{2}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4，
∴點C的坐標為（4，0）；
（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BC=4-（-1）=5，
所以Rt△BAC的周長=AB+AC+BC=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$+5=3$\sqrt{5}$+5．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．也考查了坐標與圖形性質(zhì)．