Question

9．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，點E、F分別是弦AD、DC上的點．
（1）若∠ABE=∠CBF，BE=BF．求證：BD是⊙O的直徑．
（2）若$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，∠D=2∠EBF=90°，AE=ED=2．求DF的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABE≌△BCF，得到∠A=∠C，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠A+∠C=180°，由圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）首先證出四邊形ABCD是正方形，如圖2，延長DA到G，使AG=CF，推出△ABG≌△CBF△GBE≌△FBE，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=BC，
在△ABE與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠A=∠C，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴BD是⊙O的直徑；

（2）解：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$，AB=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠D=90°，∠D+∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
∵AE=ED=2，
∴AD=CD=4，
如圖2，延長DA到G，使AG=CF，連接BG，EF，
在△ABG與△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠GAB=∠C=90°}\\{AG=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴BG=BF，∠1=∠2，
∵∠EBF=45°，
∴∠2+∠ABE=45°，
∴∠1+∠ABE=45°，
∴∠GBE=∠EBF，
在△GBE與△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠GBE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△FBE，
∴GE=EF，
設(shè)DF=x，則AG=CF=4-x，
∴EF=GE=4-x+2=6-x，
在R_t△EFD中，EF²=DE²+DF²，
∴（6-x）²=2²+x²
∴$x=\frac{8}{3}$，
∴DF=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．