Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，弦AD的延長線交直線BC與點(diǎn)C，
（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的長；
（2）若點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，可得∠ADB=∠ABC=90°；然后根據(jù)∠ACB=60°，求出∠A的度數(shù)，即可求出BD的長是多少．
（2）首先連接OD，根據(jù)點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，判斷出∠DBE=∠BDE；然后判斷出∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，即∠ODE=∠OBE=90°，再根據(jù)DE過半徑OD的外端，判斷出DE是⊙O的切線即可．

解答 （1）解：∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∵∠ACB+∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠A=∠CBD=90°-∠ACB=90°-60°=30°，
∴BD=AB$•sin30°=10×\frac{1}{2}$=5．

（2）證明：如圖1，連接OD．，
由（1），可得∠BDC=90°，
∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}BC=BE$，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，
即∠ODE=∠OBE=90°，
又∵DE過半徑OD的外端，
∴DE是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．