Question

14．已知如圖①，在矩形ABCD中，AC是對角線，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AEF、直線FE交BC于點G，易證：FG=EF-CG．當(dāng)直線FE交BC的延長線于點G（如圖②）或直線FE交CB的延長線于點G（如圖③）時，線段EG、EF、CG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并選擇一種情況給出證明．

Answer 1

分析 圖②結(jié)論：EG=EF+CG，如圖2，連接AG，證明Rt△ABG≌Rt△AEG，問題即可得證；圖③結(jié)論：EG=CG-EF，連接AG，證明Rt△ABG≌Rt△AEG，問題即可得證．

解答 解：猜想：圖②結(jié)論：EG=EF+CG，
圖③結(jié)論：EG=CG-EF，
證明圖②，如圖2，連接AG，
∵將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AEF，
∴AB=AE，∠FEA=∠GEA=∠B=90°，
在Rt△ABG和Rt△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AEG，
∴BG=EG
又∵BC=EF，BG=BC+CG
∴EG=EF+CG；
 證明圖③，如圖3，連接AG，
同理可證：Rt△ABG≌Rt△AEG，
∴BG=EG，
又∵BC=EF，BG=CG-BC，
∴EG=CG-EF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．