Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．

①如圖2，若過點(diǎn)B作直線BC使得BC⊥AB于點(diǎn)B，且交x軸于C，求△ABC的面積．
②D為線段OA延長線上一動點(diǎn)，在第二象限內(nèi)以BD為直角邊做等腰直角三角形BDE，連結(jié)EA．求直線EA的函數(shù)表達(dá)式．
③如圖3，點(diǎn)F是y軸正半軸上一點(diǎn)，且F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），AG平分∠OAF，點(diǎn)M是射線AG上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得OM+MN的值最�。咳舸嬖�，請寫出其最小值，并加以說明．

Answer 1

分析 ①根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計算；
②過點(diǎn)E作x軸的垂線EM交x軸點(diǎn)M，根據(jù)全等三角形的判定和直線解析式的解答即可；
③根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答 解：①由題意可得：A點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
則△AOB為等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，
∴△ABC為等腰直角三角形且AC=12，
∴S_△ABC=36；
②過點(diǎn)E作x軸的垂線EM交x軸點(diǎn)M，如圖1：
．
設(shè)線段DA=a，則DO=6+a，
∵△EDB為等腰直角三角形，
∴ED=DB且∠EDB=90°，
∴∠EDM+∠BDO=90°，
易得：∠EDM=∠DBO，∠EMD=∠BOB=90°，
∴△EMD≌△DOB，
∴EM=DO=6+a，MD=BO=6，
$\begin{array}{l}∵點(diǎn)M，D在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)E在第二象限內(nèi)\\∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-12-a，6+a）\end{array}$
設(shè)經(jīng)過A，E兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b則有：
$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\（-12-a）k+b=6+a\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
直線EA的解析式為y=-x+6；
③線段AO，射線AG上分別任取點(diǎn)N，M作點(diǎn)N關(guān)于射線AG對稱的點(diǎn)N'，由題意可知點(diǎn)N'落在AF上，要使得OM+MN的值最小則需要點(diǎn)O，M，N'三點(diǎn)共線且ON'⊥AF，如圖2：

由勾股定理得$AF=4\sqrt{3}$，
${S_{△AOE}}=\frac{1}{2}AO*OF=\frac{1}{2}AF*ON'$
則有：ON'=3，
因此OM+MN的最小值為3．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行解答．