Question

8．?dāng)?shù)與形都是數(shù)學(xué)研究的對象，它們有著密切的聯(lián)系，我們可以利用圖形對整式乘法和因式分解進(jìn)行研究
（1）計算（a+b）（a+2b）．
小麗的操作步驟如下：
①準(zhǔn)備若干塊A、B、C型紙片，其中A型紙片是邊長為a的正方形，B型紙片是邊長分別為a、b的長方形，C型紙片是邊長為b的正方形；
②用①中的紙片拼成兩邊長分別為a+b、a+2b的長方形
③數(shù)出用了A型紙片1張，B型紙片3張，C型紙片2張，得（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b²
（2）分解因式a²+5ab+6b²小明的操作步驟如下：
①準(zhǔn)備若干塊（1）中的A、B、C型紙片
②用1塊A型紙片，5塊B型紙片和6塊紙片拼成一個長方形
③分別計算出長方形相鄰兩邊的長，得a²+5ab+6b²=（a+2b）（a+3b）
（3）計算（a+b）³
請你仿照小麗的探究過程，寫出操作步驟
（4）分解因式a³+6a²b+12ab²+8b³
請你仿照小明的探究過程，直接寫出因式分解的結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小麗的操作步驟可以得到問題的答案；
（2）根據(jù)小明的操作步驟可以得到問題的答案；
（3）根據(jù)第一問中小麗的操作步驟可以設(shè)計出相應(yīng)的方案；
（4）根據(jù)小明的操作步驟可以得到問題的答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得，A型紙片1張，B型紙片3張，C型紙片2張，
∴（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b²．
故答案為：a²+3ab+2b²．
（2）根據(jù)題意可得，a²+5ab+6b²=（a+2b）（a+3b）．
故答案為：（a+2b）（a+3b）．
（3）計算（a+b）³
操作步驟如下：
①準(zhǔn)備若干塊A、B、C型紙片，其中A型紙片是邊長為a的正方形，B型紙片是邊長分別為a、b的長方形，C型紙片是邊長為b的正方形；
②用①中的紙片拼成棱長為a+b的正方體；
③數(shù)出以a為棱長的正方體一個，以a為邊長的正方形做底面，高為b的長方體三個，以b為邊長的正方形做底面，高為a的長方體三個，以b為棱長的正方體一個，得（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．
（4）分解因式a³+6a²b+12ab²+8b³
根據(jù)小明的操作步驟可得，a³+6a²b+12ab²+8b³=（a+2b）³．

點(diǎn)評 本題考查解因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能看懂小麗和小明的操作步驟，在（3）和（4）中可以與長方體和正方體聯(lián)系在一起．