Question

18．如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，從而得到DG∥EF，DG=EF，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求得結(jié)果．

解答 證明：∵AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；


（2）解：過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
Rt△OBM中，∠OBM=∠BOM=45°，
∴BM=OM=2，
∴BC=2+2$\sqrt{3}$，
∴EF=1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，含30°角，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．