Question

10．閱讀下面材料，然后解答問(wèn)題：
材料：（a+b）（a²-ab+b²）=a•a²-a•ab+a•b²+b•a²-b•ab+b•b²，于是合并后可得（a+b）（a²-ab+b²）=a³+b³，
（1）將下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：x³+8y³=（x+2y）（x²-2xy+4y²）
（2）應(yīng)用：有趣的“約分”$\frac{{{3^3}+{1^3}}}{{{3^3}+{2^3}}}=\frac{3+1}{3+2}$，$\frac{{5^3+{2^3}}}{{{5^3}+{3^3}}}=\frac{5+2}{5+3}$，$\frac{{{6^3}+{2^3}}}{{{6^3}+{4^3}}}=\frac{6+2}{6+4}$，$\frac{{{7^3}+{4^3}}}{{{7^3}+{3^3}}}=\frac{7+4}{7+3}$…
面對(duì)這樣荒謬的“約分”，一笑之后，再認(rèn)真檢查，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果竟然正確；
仔細(xì)觀察式子，完成以下問(wèn)題：
①$\frac{1{0}^{3}+{1}^{3}}{（）}$=$\frac{（）}{（）}$，
②猜想：$\frac{{a}^{3}+^{3}}{（）}$=$\frac{（）}{（）}$
③你能證明你的猜想嗎？

Answer 1

分析 （1）由閱讀材料可知，a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），依此可將多項(xiàng)式x³+8y³進(jìn)行因式分解；
（2）由已知四個(gè)等式，可得：
①$\frac{{{{10}^3}+{1^3}}}{{{{10}^3}+{9^3}}}=\frac{10+1}{10+9}$；
②$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{{{a^3}+{{（{a-b}）}^3}}}=\frac{a+b}{{a+（{a-b}）}}$；
③利用a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），可得a³+（a-b）³=[a+（a-b）][a²-a（a-b）+（a-b）²]，整理得a³+（a-b）³=[a+（a-b）]（a²-ab+b²），再約分即可．

解答 （1）解：x³+8y³=（x+2y）（x²-2xy+4y²）；

（2）①解：$\frac{{{{10}^3}+{1^3}}}{{{{10}^3}+{9^3}}}=\frac{10+1}{10+9}$；

②解：$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{{{a^3}+{{（{a-b}）}^3}}}=\frac{a+b}{{a+（{a-b}）}}$；

③證明：∵a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），
a³+（a-b）³=[a+（a-b）][a²-a（a-b）+（a-b）²]，
∴a³+（a-b）³=[a+（a-b）][a²-a²+ab+a²-2ab+b²]
整理得a³+（a-b）³=[a+（a-b）]（a²-ab+b²），
∴$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{{{a^3}+{{（{a-b}）}^3}}}=\frac{a+b}{{a+（{a-b}）}}$．
故答案為（x+2y）（x²-2xy+4y²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力．讀懂閱讀材料可知，利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．