Question

4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線上，且AF=CE．
（1）求證：AE=BE；
（2）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（3）當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）證出DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）由在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，可得CE=AE=BE，又由AF=CE，可得CE=AE=BE=AF，繼而可證得∠5=∠6，即可判定AF∥CE，則可得四邊形ACEF是平行四邊形；
（3）由當(dāng)∠B=30°時(shí)，在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE=CE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE；
（2）證明：如圖所示：
∵∠ACB=90°，BE=AE，
∴CE=AE=BE，
又∵CE=AF，
∴CE=AE=BE=AF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠EDB=∠ACD，
∴DF∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∴AF∥CE，
又∵AF=CE，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；
（3）解：當(dāng)∠B=30°時(shí)，
在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE=CE，
∵四邊形ACEF是平行四邊形，
∴當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．