Question

15．△ABC和△ACD中，AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=45°，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板EFG（∠FEG=45°）如圖放置（E與A重合）．
（1）如圖1，當EF、EG分別交BC、CD邊于M、N時，求證：AM=AN；
（2）如圖2，當EF、EG分別交BC、CD的延長線于M、N時，問：（1）中的結論還成嗎？若成立，請證之；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B=∠ACD=67.5°，再求出∠BAM=∠CAN，然后利用“角邊角”證明△ABM和△ACN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=AN；
（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B=∠ACD=67.5°，再求出∠BAM=∠CAN，然后利用“角邊角”證明△ABM和△ACN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=AN．

解答 （1）證明：∵AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=45°，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=∠D=$\frac{1}{2}$×（180°-45°）=67.5°，
∵∠FEG=45°（E與A重合），
∴∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，
即∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（ASA），
∴AM=AN；

（2）結論仍然成立．
理由如下：∵AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=45°，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=∠D=$\frac{1}{2}$×（180°-45°）=67.5°，
∵∠FEG=45°（E與A重合），
∴∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠CAM=∠MAN+∠CAM，
即∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（ASA），
∴AM=AN．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖，根據(jù)45°角找出相等的角是解題的關鍵．