Question

20．已知：如圖，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，點(diǎn)D、E是BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)．
（1）求證：△AEF≌△AEB；
（2）∠DFE=90°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△AFD≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，由于AB=AC，于是得到AF=AB，證得∠FAE=∠BAE，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知△AFE≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFE=∠C，EF=EC，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵把△ADC沿著AD折疊，得到△ADF，
∴△AFD≌△ADC；
∴AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，
∵AB=AC，
∴AF=AB，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠BAE，
在△AFE與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{∠FAE=∠BAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ABE，

（2）由（1）知△AFE≌△ABE，
∴∠AFE=∠C，EF=EC，
∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．