Question

20．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，將△BCP沿CP翻折至△FCP位置，延長PF交邊AD于點(diǎn)E．
（1）求證：EF=DE；
（2）若DF延長線與CP延長線交于G點(diǎn)，求$\frac{DF}{AG}$的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形的邊長為$\sqrt{10}$，$\frac{BP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，直接寫出DG的長為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過全等三角形Rt△CFE≌Rt△CDE（HL）的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥DG于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DG于點(diǎn)N，構(gòu)建全等三角形△AMD≌△DNC（AAS），由該全等三角形的性質(zhì)和已知條件推知△CNG是等腰直角三角形，根據(jù)該等腰直角三角形的性質(zhì)判定△AGM是等腰直角三角形，則AG=$\sqrt{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF，故$\frac{DF}{AG}$=$\sqrt{2}$；
（3）在直角△BCP中，由勾股定理得到PC=$\sqrt{P{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{10}{3}$．然后結(jié)合相似三角形Rt△GAP∽Rt△BCP的對應(yīng)邊成比例得到：$\frac{PA}{PC}$=$\frac{GP}{BP}$，即GP=$\frac{2}{3}$．在直角△AGP中，AG=$\sqrt{A{P}^{2}-G{P}^{2}}$=2．由對角互補(bǔ)四邊形模型可知：AG+GC=$\sqrt{2}$DG，由此求得DG的長度．

解答 （1）證明：如圖1，連接CE，
∵∠CFE=∠CDE=90°，BC=CF=CD，
∴Rt△CFE≌Rt△CDE（HL），
∴EF=DE；

（2）解：如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥DG于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DG于點(diǎn)N
∴△AMD≌△DNC（AAS），
∴AM=DN，DM=CN．
∵CF=CD，
∴∠FCN=∠DCN．
又∵∠BCP=∠FCP，
∴∠NCP=45°，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴GN=CN=DM，
∴∠GM=DN=AM，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF，
∴$\frac{DF}{AG}$=$\sqrt{2}$；

（3）∵AB=$\sqrt{10}$，$\frac{BP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BP=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，AP=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
在直角△BCP中，PC=$\sqrt{P{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{10}{3}$．
∵Rt△GAP∽Rt△BCP，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{GP}{BP}$，即$\frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\frac{10}{3}}$=$\frac{GP}{\frac{\sqrt{10}}{3}}$，GP=$\frac{2}{3}$．
在直角△AGP中，AG=$\sqrt{A{P}^{2}-G{P}^{2}}$=2．
由對角互補(bǔ)四邊形模型可知：AG+GC=$\sqrt{2}$DG，
∴DG=3$\sqrt{2}$．
故答案是：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似綜合題，需要掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，難度一般．