Question

8．以△ABC的邊AB、AC為直角邊分別向外作等腰直角△ABD和△ACE，M是BC的中點，N是DE的中點，連接AM、AN．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=90°時，其他條件不變，猜想線段BM與AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC≠90°時，其他條件不變，那么（1）中猜想的結(jié)論是否成立，如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由SAS證明△ABC≌△ADE，得出BC=DE，再由已知條件得出BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$BC，即可得出結(jié)論；
（2）延長AN至F，使NF=AN，連接DF，先證明△ANE≌△FND，得出DF=AE=AC，∠F=NAE，證出DF∥AE，再證出∠FDA=∠BAC，由SAS證明△ABC≌△DAF，得出BC=AF，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）BM=AN；證明如下：
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAD=90°．
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAC=∠DAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC=DE，
∵M是BC的中點，N是DE的中點，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=AN；
（2）成立；證明如下：如圖2所示：
延長AN至F，使NF=AN，連接DF，
∵N是DE的中點，
∴DN=NE，
在△ANE和△FND中，$\left\{\begin{array}{l}{NE=DN}&{\;}\\{∠ANE=∠FND}&{\;}\\{AN=NF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△FND（SAS），
∴DF=AE=AC，∠F=NAE，
∴DF∥AE，
∴∠FDA+∠DAE=180°，
∵∠BAC+∠DAE=360°-∠BAD-∠CAE=180°，
∴∠FDA=∠BAC，
在△ABC和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAC=∠FDA}&{\;}\\{AC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAF（SAS），
∴BC=AF，
∵BM=CM=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=AN．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．