Question

18．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為3，則其底邊上的高是$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①三角形是鈍角三角形時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=$\frac{1}{2}$AB，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ABC=30°，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等解答，②三角形是銳角三角形時，判斷出△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：①三角形是鈍角三角形時，如圖1，
∵∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$（90°-30°）=30°，
∴∠ABD=∠ABC，
∴底邊BC上的高AE=AD=$\frac{3}{2}$；
②三角形是銳角三角形時，如圖2，∵∠ABD=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴底邊上的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
綜上所述，底邊上的高是$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．