Question

20．已知：點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A、B兩點(diǎn)不重合），在同一平面內(nèi)，把線段AP、BP分別折成等邊△CDP和△EFP，且D、P、F三點(diǎn)共線，如圖所示．
（1）若DF=2，求AB的長；
（2）若AB=18時(shí)，等邊△CDP和△EFP的面積之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此時(shí)P點(diǎn)位置，若沒有最大值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)果；
（2）設(shè)CD=PC=PD=x，則EF=EP=PF=6-x，求出等邊△CDP和△EFP的面積之和S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-3$\sqrt{3}$x+9$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，得出S有最小值，沒有最大值．

解答 解：（1）∵△CDP和△EFP是等邊三角形，
∴CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF，
∵DF=PD+PF=2，
∴AB=AP+BP=3DF=3×2=6；
（2）沒有最大值，理由如下：
設(shè)CD=PC=PD=x，則EF=EP=PF=$\frac{1}{3}$（18-3x）=6-x，
作CM⊥PD于M，EN⊥PF于N，
則DM=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$x，PN=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$（6-x），
∴CM=$\sqrt{3}$DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-x），
∴△CDP的面積=$\frac{1}{2}$PD•CM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，△EFP的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-x）²，
∴等邊△CDP和△EFP的面積之和S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-x）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-3$\sqrt{3}$x+9$\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，
∴S有最小值，沒有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)；熟練掌握翻折變換和等邊三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．