Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P和圖形G，如果線(xiàn)段OP與圖形G有公共點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)P為關(guān)于圖形G的“親近點(diǎn)”．
（1）如圖，已知點(diǎn)A（1，3），B（1，1），連接AB．
①在P₁（1，4），P₂（1，2），P₃（2，3），P₄（5，4）這四個(gè)點(diǎn)中，關(guān)于線(xiàn)段AB的“親近點(diǎn)”是點(diǎn)P₂，P₃；
②線(xiàn)段A₁B₁∥AB，線(xiàn)段A₁B₁上所有的點(diǎn)都是關(guān)于線(xiàn)段AB的“親近點(diǎn)”，若點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)是3，那么線(xiàn)段A₁B₁最長(zhǎng)為6．
（2）已知點(diǎn)C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），⊙C與y軸相切于點(diǎn)D．若⊙E的半徑為1，圓心E在直線(xiàn)l：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$上，且⊙E上的所有點(diǎn)都是關(guān)于⊙C的“親近點(diǎn)”，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)的取值范圍．
（3）以M（3，0）為圓心，2為半徑作⊙M．點(diǎn)N是⊙M上到原點(diǎn)最近的點(diǎn)，點(diǎn)Q和T是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且⊙M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于△NQT的“親近點(diǎn)”，求△NQT周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)“親近點(diǎn)”的定義，觀察圖象可知，關(guān)于線(xiàn)段AB的“親近點(diǎn)”是點(diǎn)P₂，P₃．②如圖1中，題意AB∥A₁B₁，$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，由AB=2，推出A₁B₁=6，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，設(shè)⊙C與y軸X相切于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)O作⊙C的切線(xiàn)交AB于T，切點(diǎn)為F．首先證明OT⊥AB，當(dāng)⊙E與OT相切時(shí)，且⊙E上的所有點(diǎn)都是關(guān)于⊙C的“親近點(diǎn)”，此時(shí)EB=$\frac{5}{2}$，E（$\frac{7}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），當(dāng)⊙E′與y軸相切時(shí)，且⊙E′上的所有點(diǎn)都是關(guān)于⊙C的“親近點(diǎn)”，此時(shí)E（1，2$\sqrt{3}$），由此即可判斷．
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作⊙M的切線(xiàn)OC、OD，切點(diǎn)為C、D．易知C（$\frac{5}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{3}$），D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$），由題意可知點(diǎn)Q、點(diǎn)T分別在線(xiàn)段OC、線(xiàn)段OD上時(shí)，⊙M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于△NQT的“親近點(diǎn)”，作點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N″，連接N′N(xiāo)″，分別交OC、OD于Q、T，連接NQ，NT，此時(shí)△NTQ的周長(zhǎng)最小，△NTQ的周長(zhǎng)的最小值=QN+NT+QT=QN′+QT+TN″=N′N(xiāo)″．

解答 解：（1）①根據(jù)“親近點(diǎn)”的定義，觀察圖象可知，關(guān)于線(xiàn)段AB的“親近點(diǎn)”是點(diǎn)P₂，P₃．
故答案為P₂，P₃．

②如圖1中，題意AB∥A₁B₁，$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB=2，
∴A₁B₁=6，
∴A₁B₁的最大值為6．
故答案為6．


（2）如圖2中，設(shè)⊙C與y軸X相切于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)O作⊙C的切線(xiàn)交AB于T，切點(diǎn)為F．

∵C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
在Rt△COG和Rt∠COF中，tan∠COG=$\frac{CG}{OG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠COG=∠COF=∠TOB=30°，
∵直線(xiàn)y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$與x軸交于點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)A（0，3$\sqrt{3}$），
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，
∴OT⊥AB，
∴OT=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，TB=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)⊙E與OT相切時(shí)，且⊙E上的所有點(diǎn)都是關(guān)于⊙C的“親近點(diǎn)”，此時(shí)EB=$\frac{5}{2}$，E（$\frac{7}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
當(dāng)⊙E′與y軸相切時(shí)，且⊙E′上的所有點(diǎn)都是關(guān)于⊙C的“親近點(diǎn)”，此時(shí)E（1，2$\sqrt{3}$），
綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的縱坐標(biāo)的取值范圍為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$≤y_E≤2$\sqrt{3}$．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作⊙M的切線(xiàn)OC、OD，切點(diǎn)為C、D．易知C（$\frac{5}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{3}$），D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）

由題意可知點(diǎn)Q、點(diǎn)T分別在線(xiàn)段OC、線(xiàn)段OD上時(shí)，⊙M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于△NQT的“親近點(diǎn)”，
作點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N″，連接N′N(xiāo)″，分別交OC、OD于Q、T，連接NQ，NT，此時(shí)△NTQ的周長(zhǎng)最小，
易知N′（$\frac{1}{9}$，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$），N″（$\frac{1}{9}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{9}$），
∴△NTQ的周長(zhǎng)的最小值=QN+NT+QT=QN′+QT+TN″=N′N(xiāo)″=$\frac{8\sqrt{5}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．