Question

1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的面積．用現(xiàn)代式子表示即為：$S=\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×^{2}-{（\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）}^{2}]}$…①（其中a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，S為面積）．
而另一個(gè)文明古國(guó)古希臘也有求三角形面積的海倫公式：
S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$…②（其中p=$\frac{a+b+c}{2}$．）
（1）若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，7，9，試分別運(yùn)用公式①和公式②，計(jì)算該三角形的面積；
（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請(qǐng)?jiān)囋嚕?

Answer 1

分析 （1）直接利用已知公式將相關(guān)數(shù)據(jù)代入得出答案；
（2）將①式變形，進(jìn)而推導(dǎo)出②即可．

解答 解：（1）∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，7，9，
∴$S=\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×^{2}-{（\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）}^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[{5}^{2}×{7}^{2}-（\frac{{5}^{2}+{7}^{2}-{9}^{2}}{2}）^{2}]}$
=$\frac{21\sqrt{11}}{4}$；
∵p=$\frac{a+b+c}{2}$=$\frac{21}{2}$，
S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$
=$\sqrt{\frac{21}{2}×（\frac{21}{2}-5）×（\frac{21}{2}-7）×（\frac{21}{2}-9）}$
=$\frac{21\sqrt{11}}{4}$；

（2）$S=\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×^{2}-{（\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）}^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}（ab+\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）（ab-\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{2ab}{2}+\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）（\frac{2ab}{2}-\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{2}×\frac{{c}^{2}-（a-b）^{2}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{（a+b+c）（a+b-c）}{2}×\frac{（c+a-b）（c-a+b）}{2}}$
=$\sqrt{\frac{a+b+c}{2}×\frac{a+b-c}{2}×\frac{c+a-b}{2}×\frac{c-a+b}{2}}$，
∵p=$\frac{a+b+c}{2}$，
∴原式=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確將公式進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵．