Question

3．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的內(nèi)切圓分別與邊BC，CA，AB相切與點D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓相交于另一點P，連接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求證：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．

Answer 1

分析 （1）證明三角形相似只要知道兩個角相等即可，根據(jù)弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC，由角度關(guān)系可以知道∠FPD=DPC，即可證明．
（2）根據(jù)AE、AF與圓相切，由弦切角定理推出△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，得到對應(yīng)邊成比例，通過等量代換得到比例式又證得三角形相似，得到△EPD也是等腰三角形，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BC與圓相切，
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分別于圓相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
故PD平分∠FPC；

（2））∵AE、AF與圓相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴$\frac{PF}{FD}=\frac{PD}{DC}$，
∴$\frac{EP}{DE}=\frac{AP}{AE}=\frac{AP}{AF}=\frac{FP}{DF}$，
∴$\frac{EP}{DE}=\frac{PD}{DC}$．                       
∵∠EPD=∠EDC，
∴△EPD∽△EDC，
∴△EPD也是等腰三角形，
∴∠PED=∠EPD=∠EDC，
∴PE∥BC．

點評 本題主要考查三角形相切的性質(zhì)，結(jié)合角度關(guān)系來求．注意線段之間的轉(zhuǎn)化，特別是證明三角形相似是個難點．