Question

12．如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC邊上的點，且AE=DF，△ADF可看作是由△BAE繞著某一點旋轉(zhuǎn)而來的．
（1）請畫出旋轉(zhuǎn)中心，并簡要說明理由；
（2）設(shè)AF與BE交于點K，連接CK，若AE=2，AB=6，求CK的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，對應(yīng)點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，AB、AD的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，即對角線的交點O為旋轉(zhuǎn)中心．
（2）如圖2中，作KM⊥AB于M，KN⊥BC于N．想辦法求出KN、CN即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，對應(yīng)點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，AB、AD的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，即對角線的交點O為旋轉(zhuǎn)中心．


（2）如圖2中，作KM⊥AB于M，KN⊥BC于N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠BAE=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AKB=90°，
∴AF⊥BE，
∴$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$•BE•AK，
∴AK=$\frac{AB•AE}{BE}$=$\frac{12}{2\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{10}$，BK=$\sqrt{A{B}^{2}-A{K}^{2}}$=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$，
∵KM∥AE，
∴$\frac{KM}{AE}$=$\frac{BK}{BE}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴KM=$\frac{9}{5}$，BK=$\frac{27}{5}$，
在Rt△KNC中，∵KN=BM=$\frac{27}{5}$，CN=BC-BN=6-$\frac{9}{5}$=$\frac{21}{5}$，
∴CK=$\sqrt{K{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{27}{5}）^{2}+（\frac{21}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{130}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．