Question

7．一塊直角三角形余料，直角邊BC=80cm，AC=60cm，現(xiàn)在要最大限度地利用這塊余料，把它加工成為一個(gè)正方形，求這個(gè)正方形的周長．

Answer 1

分析 當(dāng)所截的正方形的邊在△ABC的直角邊上，如圖1，設(shè)正方形CDEF邊長為x，則CD=DE=x，AD=AC-CD=60-x，先證明△ADE∽△ACB，于是可利用相似比求得x=$\frac{240}{7}$cm，進(jìn)而可得出其周長；
當(dāng)所截的正方形的邊在△ABC的斜邊上，如圖2，作CM⊥AB于M，交CD于N，先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用面積法計(jì)算出CM=48cm，設(shè)正方形DEFG邊長為x，則DG=MN=x，CN=48-x，接著證明△CDG∽△CAB，則可利用相似比計(jì)算出x的值，進(jìn)而可得出其周長．

解答 解：當(dāng)所截的正方形的邊在△ABC的直角邊上，如圖1，設(shè)正方形CDEF邊長為xcm，則CD=DE=x，AD=AC-CD=60-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{60-x}{60}$=$\frac{x}{80}$，即得x=$\frac{240}{7}$，
∴正方形CDEF周長=4×$\frac{240}{7}$=$\frac{960}{7}$cm；
當(dāng)所截的正方形的邊在△ABC的斜邊上，如圖2，作CM⊥AB于M，交CD于N，
AB=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CM=$\frac{60×80}{100}$=48cm，
設(shè)正方形DEFG邊長為xcm，則DG=MN=x，CN=48-x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{x}{100}$=$\frac{48-x}{48}$，解得x=$\frac{1200}{37}$，
∴正方形CDEF周長=4×$\frac{1200}{37}$=$\frac{4800}{37}$cm．
綜上所述，這個(gè)正方形的周長是$\frac{960}{7}$cm或$\frac{4800}{37}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，先證明三角形相似，然后用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求線段的長，也考查了正方形的性質(zhì)．