Question

6．已知：正方形ABCD，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)．
（1）如圖1，Q為CD邊上一點(diǎn)，且∠BPQ=90°，求證：PB=PQ；
（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC中點(diǎn)，求PB+PE的最小值．

Answer 1

分析 （1）連接PD，在正方形ABCD中得到∠DAC=∠BAC，證得△APB≌△APD，得到∠DAC=∠BAC，證得△APB≌△APD，于是得到PD=PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABP=∠ADP，由于∠ABC=∠ADC=90°，得到∠PBC=∠PDC，推出∠PBC+∠PQC=180°，由于∠PQD+∠PQC=180°，得到∠PQD=∠PBC，根據(jù)等量代換得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接ED交AC于點(diǎn)P，連接BP，則DE的長(zhǎng)度即為PB+PE的最小值，同理可證BP=PD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：如圖1，連接PD，在正方形ABCD中
∴∠DAC=∠BAC，
在△APB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△APB≌△APD，
∴∠DAC=∠BAC，
在△APB與△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APD，
∴PD=PB，
∴∠ABP=∠ADP，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠PBC=∠PDC，
∵∠BPQ=∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PQC=180°，
∵∠PQD+∠PQC=180°，
∴∠PQD=∠PBC，
∴∠PDC=∠PQD，
∴PD=PQ，
∴PQ=PB；

（2）如圖2，連接ED交AC于點(diǎn)P，連接BP，
則DE的長(zhǎng)度即為PB+PE的最小值，
同理可證BP=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE，
∵EC=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BCD=90°，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PB+PE的最小值為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵．