Question

9．如圖，正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥CE于M，交AC于N，交AB于F，連接EN、BM，有如下結(jié)論：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③BM=BC；④S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 5個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 2個(gè)

Answer 1

分析 ①本題需先根據(jù)已知條件，得出△ADF與△DCE相似，即可得出結(jié)果．
②本題需先根據(jù)AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN這三個(gè)條件，得出△ANF≌△ANE，即可得出結(jié)論．
③本題需先根據(jù)AF∥CD，得出CN與AN的比值，即可求出結(jié)果．
④本題需先連接CF，再設(shè)S_△ANF=1，即可得出S_△ADN與S_{四邊形CNFB}的比值即可．
⑤在△DEN和△MFB中，根據(jù)已知條件，得出△DEN與△MFB全等，即可得出結(jié)果．

解答 解：①在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠DCE}\\{∠DAF=∠EDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE，
故本選項(xiàng)正確；

②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠NAF=∠NAE}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN錯(cuò)誤，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四邊形ABCD為正方形，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{CN}{AN}$=$\frac{CD}{AF}$=2，
∴CN=2AN，
故本選項(xiàng)正確；

④連接CF，
設(shè)S_△ANF=1，
則S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四邊形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5，
故本選項(xiàng)正確；

⑤延長(zhǎng)DF與CB交于G，則∠ADF=∠G，
根據(jù)②的結(jié)論F為AB中點(diǎn)，即AF=BF，
在△DAF與△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠G}\\{∠DAB=∠GBF=90°}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故選項(xiàng)正確．
所以正確的有①③④⑤共4個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)問題，在解題時(shí)要注意全等三角形、相似等知識(shí)的綜合利用，在做題時(shí)要結(jié)合圖形是解題的關(guān)鍵．