Question

6．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=60°，點D為線段AB上的一點，△ACD的外接圓交BC于點M，△BCD的外接圓交AC于點N，則$\frac{CM}{CA}$+$\frac{CN}{CB}$=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如圖，連接BN、DM，延長DM交圓于F，連接BF、FN、FC，在CB上取一點P，使得CN=CP，連接PN．首先證明△BNF是等邊三角形，再證明△BNP≌△FNC，推出BP=CF，推出BC=BP+PC=CF+CN，由△ACB∽△MCF，可得$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CF}{BC}$，推出$\frac{CM}{CA}$+$\frac{CN}{CB}$=$\frac{CF}{BC}$+$\frac{CN}{BC}$=$\frac{CF+CN}{BC}$=$\frac{BC}{BC}$=1，即可解決問題．

解答 解：如圖，連接BN、DM，延長DM交圓于F，連接BF、FN、FC，在CB上取一點P，使得CN=CP，連接PN．

∵∠BDM=∠ACB=60°，∠ADN=∠ACB=60°（圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角），
∴∠BNF=∠BDF=∠BCF=60°，∠BFN=∠ACB=60°，
∴△BNF是等邊三角形，
∵CN=CP，∠NCP=60°，
∴△NCP是等邊三角形，
∴NB=NF，NP=NC，∠BNF=∠PNC，
∴∠BNP=∠FNC，
∴△BNP≌△FNC，
∴BP=CF，
∴BC=BP+PC=CF+CN，
∵∠ABC=∠CFM，∠ACB=∠FCM，
∴△ACB∽△MCF，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CF}{BC}$，
∴$\frac{CM}{CA}$+$\frac{CN}{CB}$=$\frac{CF}{BC}$+$\frac{CN}{BC}$=$\frac{CF+CN}{BC}$=$\frac{BC}{BC}$=1，
故選A．

點評 本題考查三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓選擇題中的壓軸題．