Question

19．在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為等值點．例如點（1，1）．（-2，-2）．（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），…，都是等值點．已知二次函數(shù)y=ax²+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個等值點（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），且當m≤x≤3時，函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{15}{8}$（a≠0）的最小值為-9，最大值為-1，則m的取值范圍是-1≤m≤1．

Answer 1

分析 根據(jù)等值點的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根為$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{4}$，從而求得a=-2，c=-$\frac{9}{8}$，所以函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{15}{8}$=-2x²+4x-3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．

解答 解：令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由題意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=-2，c=-$\frac{9}{8}$．                           
故函數(shù)y=ax²+4x+c-$\frac{15}{8}$=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1，
如圖，該函數(shù)圖象頂點為（1，-1），

由于函數(shù)圖象在對稱軸x=1左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，
且當m≤x≤3時，函數(shù)y=-2x²+4x-3的最小值為-9，最大值為-1，
∴-1≤m≤1，
故答案為：-1≤m≤1．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式等知識，利用分類討論以及數(shù)形結合得出是解題關鍵．