Question

7．在菱形ABCD中，P是直線BD上一點，點E在射線AD上，連接PC．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAD=90°時，連接PE，交CD與點F，若∠CPE=90°，求證：PC=PE；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAD=60°時，連接PE，交CD與點F，若∠CPE=60°，設(shè)AC=CE=4，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）先證出△ADP≌△CDP，得PA=PC，再證明PA=PE，得PC=PE；
（2）①如圖2中，設(shè)AC交BD于O．首先證明PC=PE=PA，由∠CPE=60°推出PC=PE=CE=AC=4，由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根據(jù)BP=PO+OB計算即可；②如圖3中，利用①中方法計算即可；

解答 （1）證明：如圖1中，連接PA．

在正方形ABCD中，AD=DC，
∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADP=∠CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
∵∠CPF=∠EDF=90°，∠PFC=∠EFD，
∴∠PCF=∠E，
∴∠PAD=∠E
∴PA=PE，
∴PC=PE；

（2）①如圖2中，設(shè)AC交BD于O，連接CE．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ADO=∠CDO，
∴∠ADP=∠CDP，
∵DA=DC，DP=DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∵∠CPE=∠CDF=60°，∠DFC=∠PFE，
∴∠E=∠PCD=∠PAD，
∴PA=PE=PC，
∴△PCE是等邊三角形，
∴AC=CE=PE=PA=PC=4，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BP=PO+OB=2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
②如圖3中，

利用①中方法可知PB=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．