Question

14．如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（-1，a），B（b，1）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式，再由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△PAB=S_△ABD-S_△BDP，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=-1時(shí)，a=x+4=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，3）．
將點(diǎn)A（-1，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，
3=$\frac{k}{-1}$，解得：k=-3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{3}{x}$．

（2）當(dāng)y=b+4=1時(shí)，b=-3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）．
作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，如圖所示．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-1）．
設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，
將點(diǎn)A（-1，3）、D（-3，-1）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{-3m+n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+5．
當(dāng)y=2x+5=0時(shí)，x=-$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，0）．
（3）S_△PAB=S_△ABD-S_△BDP=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求一次（反比例）函數(shù)解析式、軸對稱中的最短路線問題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）利用對稱找出PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置；（3）利用分割圖形求面積法求出△PAB的面積．