Question

6．如圖，兩等腰直角三角形ABC和DEF有一條邊BC與EF在同一直線(xiàn)上，DE=4，AB=2．設(shè)EC=m（0≤m≤4），點(diǎn)M在線(xiàn)段AD上，且∠MEB=45°．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，$\frac{AM}{DM}$=1；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求$\frac{AM}{DM}$的值；
（3）當(dāng)0＜m＜4時(shí)，△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∂度（0＜∂＜90°），原題中其它條件不變，求$\frac{AM}{DM}$的值（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）如圖，當(dāng)m=4時(shí)，C與F重合．設(shè)EM交DF于N．只要證明EM∥AF，EM⊥DF即可解決問(wèn)題；
（2）只要證明△AEM∽△FEB，可得$\frac{AM}{BF}=\frac{AE}{EF}$，推出$AM=\sqrt{2}$，推出$DM=AD-AM=\sqrt{2}$，由此即可解決問(wèn)題；
（3）如圖3中，過(guò)B作BE的垂線(xiàn)交直線(xiàn)EM于點(diǎn)G，連接AG、BG．只要證明△ABG≌△CBE，推出AG=EC=m，∠AGB=∠CEB，推出∠AGM=∠DEM，推出AG∥DE，推出△AGM∽△DEM．可得$\frac{AM}{DM}=\frac{AG}{DE}=\frac{m}{4}$；

解答 解：（1）如圖，當(dāng)m=4時(shí)，C與F重合．設(shè)EM交DF于N．

∵∠DFE=∠AFB=45°，
∴∠DFA=90°，
∵∠MEB=∠DFE=45°，
∴∠ENF=90°，
∴EM⊥DF，∠ENF=∠DFA，
∴EM∥AF，DN=NF，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{DN}{NF}$=1，
∴DM=AM．
故答案為1；

（2）如圖2中，連接AE、BE．

∵△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，DE=4，AB=2，
∴EF=4，BC=2，∠DEF=90°
∴DF=$4\sqrt{2}$，AC=$2\sqrt{2}$，∠EFB=90°，
∴DF=2AC，AD=$2\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=$2\sqrt{2}$，
∵∠BEM=45°，
∴∠AEM=∠FEB，
∴△AEM∽△FEB，
∴$\frac{AM}{BF}=\frac{AE}{EF}$，
∴$AM=\sqrt{2}$，
∴$DM=AD-AM=\sqrt{2}$
∴$\frac{AM}{DM}=1$．

（3）如圖3中，過(guò)B作BE的垂線(xiàn)交直線(xiàn)EM于點(diǎn)G，連接AG、BG．

∴∠EBG=90°
∵∠BEM=45°，
∴∠EGB=∠BEM=45°，
∴BE=BG
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠CBE，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=EC=m，∠AGB=∠CEB，
∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，
∴∠AGM=∠DEM，
∴AG∥DE，
∴△AGM∽△DEM．
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{AG}{DE}=\frac{m}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．