Question

8．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E．當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（2）、（3）的條件下，點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，在線段OB上以每秒2個(gè)OD長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q 從O點(diǎn)出發(fā)，在線段OD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PMN的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c得到c=4，利用對(duì)稱軸方程可求出b=-$\frac{10}{3}$，從而可得到拋物線解析式；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，則根據(jù)菱形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)可得C（5，4），D（2，0），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)B與點(diǎn)C為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，CD交對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得到此時(shí)的P點(diǎn)可使△PBD的周長(zhǎng)最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
然后計(jì)算直線CD與直線x=$\frac{5}{2}$的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OM=4t．ON=t，根據(jù)梯形面積公式和三角形面積公式，利用S_△PMN=S_梯形OMPF-S_△OMN-S_△PFN可得S_△PMN=-2t²+$\frac{16}{3}$t，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出0≤t≤1時(shí)S的最大值．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)B（0，4），
∴c=4，
∵頂點(diǎn)在直線x=$\frac{5}{2}$上，
∴-$\frac{2a}$=-$\frac{3b}{4}$=$\frac{5}{2}$，解得b=-$\frac{10}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4；
（2）點(diǎn)C和點(diǎn)D在該拋物線上．理由如下：
在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C（5，4），D（2，0），
當(dāng)x=5時(shí)，y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4=$\frac{2}{3}$×5²-$\frac{10}{3}$×5+4=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4=$\frac{2}{3}$×2²-$\frac{10}{3}$×2+4=0，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；
（3）如圖1，∵BC∥x軸，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)C為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，
連結(jié)CD，CD交對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則PB+PD=PC+PD=CD，則此時(shí)PB+PD最小，所以△PBD的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+p，
把C（5，4），D（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5k+p=4}\\{2k+p=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{p=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$×$\frac{5}{2}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{2}{3}$）；
（4）設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OM=4t．ON=t，
S_△PMN=S_梯形OMPF-S_△OMN-S_△PFN
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$+4t）×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×4t×t-$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{2}$-t）×$\frac{2}{3}$
=-2t²+$\frac{16}{3}$t
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線t=-$\frac{\frac{16}{3}}{2×（-2）}$=$\frac{4}{3}$，
而0≤t≤1，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S最大，最大值=-2+$\frac{16}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二從函數(shù)的綜合題：熟練掌握而從函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和點(diǎn)平移的規(guī)律；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)解決最短路徑問(wèn)題．