Question

16．已知：如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C的切線與直徑AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，連結(jié)PD．
（1）求證：PD是⊙O的切線．
（2）探究線段PD、PB、PA之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）若PD=4，tan∠CDB=$\frac{1}{2}$，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PCO=90°，再根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧BC，則∠DOP=∠COP，于是可判斷△DOP≌△COP，得到∠PDO=∠PCO=90°，則根據(jù)切線的判定定理即可得到PD是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，再利用同角的余角相等得到∠ADO=∠PDB，加上∠A=∠ADO，則∠A=∠PDB，于是可判斷△PDB∽△PAD，利用相似比得PD：PA=PB：PD，根據(jù)比例的性質(zhì)得PD²=PA•PB；
（3）由弧BD=弧BC，根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠BDC，則tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，再利用△PDB∽△PAD得到$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，于是可分別計(jì)算出PA和PB，然后利用AB=PA-PB求解．

解答 （1）證明：連接OD，OC，如圖，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCO=90°，
∵AB⊥CD，AB是直徑，
∴弧BD=弧BC，
∴∠DOP=∠COP，
在△DOP和△COP中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠DOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO=∠PCO=90°，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切線；
（2）PD²=PB•PA．理由如下：
證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠PDO=90°，
∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A=∠PDB，
∵∠BPD=∠DPA，
∴△PDB∽△PAD，
∴PD：PA=PB：PD，
∴PD²=PA•PB；
（3）解：∵弧BD=弧BC，
∴∠A=∠BDC，
∵tan∠BDC=$\frac{1}{2}$，
∴tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵△PDB∽△PAD，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
而PD=4，
∴PB=2，PA=8，
∴AB=PA-PB=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．