Question

16．如圖，把一個(gè)斜邊長為4且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A₁B₁C，則在旋轉(zhuǎn)過程中這個(gè)三角板掃過的面積是$\frac{11}{3}$π+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC、AC的長度，設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，可以證明△BCD是等邊三角形，然后求出點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以△ACD的面積等于△ABC的面積的一半，然后根據(jù)△ABC掃過的面積=S_扇形ACA1+S_扇形BCD+S_△ACD，然后根據(jù)扇形的面積公式與三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，∠B=90°-∠BAC=60°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-{BC}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AC=2$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，
∵BC=DC，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=CD=2，
∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC掃過的面積=S_扇形ACA1+S_扇形BCD+S_△ACD，
=$\frac{90}{360}$×π×（2$\sqrt{3}$）²+$\frac{60}{360}$×π×2²+$\sqrt{3}$，
=$\frac{11}{3}$π+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{11}{3}$π+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想把掃過的面積分成兩個(gè)扇形的面積與一個(gè)三角形面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．